PARA peneliti memecahkan masalah lelet dalam topologi dengan membantu mengklasifikasikan bentuk empat dimensi (4-manifold), yang memungkinkan jenis deformasi tertentu. Yang juga dikenal sebagai pemetaan kuasiregular dari ruang Euclidean.
Susanna Heikkilä Membangun terobosan signifikan dalam topologi, cabang matematika yang berkaitan dengan sifat dan bentuk permukaan geometris. Salah satu artikel dari tesis doktoralnya telah diterima Buat dipublikasikan di Annals of Mathematics, salah satu jurnal paling bergengsi di bidangnya.
Masalah yang dipecahkan Heikkilä menyangkut Penggolongan 4-manifold elips Nyaris teratur yang melibatkan pemahaman ruang empat dimensi mana yang dapat dibentuk dengan mengubah bentuk geometri Euclidean empat dimensi standar. Penelitiannya, yang dilakukan Serempak dengan matematikawan Pekka Pankka, dirinci dalam artikel yang sekarang diterbitkan dalam Annals of Mathematics.
Akar masalah dapat ditelusuri kembali ke tahun 1981, ketika matematikawan Rusia-Prancis dan pemenang Hadiah Abel Mikhail (Misha) Gromov mengajukan pertanyaan mendasar, apakah keberadaan pemetaan kuasiregular harus mengikuti ketika ruang Sasaran hanya terhubung, Adalah, ketika Mempunyai Grup Esensial yang sepele dan Kagak Terdapat penghalang topologis?
Pertanyaan ini tetap Kagak terjawab selama beberapa Dasa warsa hingga 2019, ketika Misalnya tandingan empat dimensi dibangun Alexander Prywes. Karya Heikkilä dibangun di atas perkembangan ini, menawarkan wawasan baru yang mendalam tentang struktur dan keterbatasan pemetaan kuasiregular dalam empat dimensi.
“Hasil Istimewa dari tesis doktoral saya melengkapi jawaban atas pertanyaan Gromov, karena hasilnya dapat digunakan Buat mengklasifikasikan manifold empat dimensi tertutup yang terhubung secara sederhana yang Terdapat pemetaan kuasiregular dari ruang Euclidean,” kata Susanna Heikkilä, Peneliti Pascadoktoral.
Heikkilä yang hobinya termasuk merajut, juga menggambarkan masalah ini melalui kain rajutan. Rajutan selesai Buat ujian publiknya, di mana dia Mau menggambarkan penelitiannya dalam istilah awam.
Karya tangan menggambarkan pemetaan dari bidang ke bola, yang dikenal sebagai peta Alexander. Heikkilä merajut tambalan dengan Rona berbeda dan merakitnya menjadi pola papan catur dengan kotak Rona berbeda di sudut-sudutnya.
Yang juga dibutuhkan adalah sebuah bola dengan belahan atas dan Rendah berwarna berbeda. Ketika kotak catur melengkung di Sekeliling bola dengan sudut berwarna yang melekat satu sama lain, celah dibiarkan di antara kotak. Ini merangkum ide pemetaan kuasiregular, celah dapat ditutup dengan meregangkan kain.
Masalah Elips Kuasiregular
Geometri kuasikonformal mempelajari Dampak distorsi sangat kecil pada bentuk objek. Pemetaan kuasiregular menyelidiki pertanyaan-pertanyaan yang mencakup dalam geometri kuasikonformal. Misalnya klasik dari pertanyaan semacam itu adalah hasil berikut berdasarkan teorema uniformisasi, satu-satunya permukaan Riemann yang mengakui pemetaan holomorfik non-sepele dari seluruh bidang kompleks adalah bola dua dimensi dan torus dua dimensi.
Secara Spesifik, Kagak Terdapat pemetaan seperti itu Buat permukaan genus yang lebih tinggi. Teorema ini mengikuti karya Poincaré dan Radón pada permukaan Riemann dari awal 1900-an. Hari ini, hasil ini adalah salah satu dasar-dasar dalam Naskah teks tentang permukaan Riemann.
Yang sangat menarik adalah bahwa hasil pemetaan konformal dua dimensi ini Kagak berubah bahkan Kalau apa yang diperiksa adalah pemetaan kuasiregular alih-alih yang konformal. Dalam dimensi yang lebih tinggi, geometri konformal dan kuasikonformal dibedakan secara radikal.
Kombinasi hasil Martio, Rickman, dan Väisälä dari tahun 1971 dengan teorema Zorich dari tahun 1968 menunjukkan satu-satunya manifold Riemannian yang terhubung secara sederhana dalam dimensi yang lebih tinggi, yang Terdapat pemetaan konformal dari ruang Euclidian, adalah ruang Euclidean itu sendiri dan bola dengan dimensi yang sama.
Sebaliknya, pemetaan kuasiregular dapat ditemukan dari ruang Euclidean ke beberapa ruang yang berbeda. Manifold semacam itu disebut ‘quasiregularly elliptic.’
